在透鏡的Y方向，內(nèi)凹的非球面柱面鏡的設(shè)計(jì)和外側(cè)全反射面輪廓線的設(shè)計(jì)如圖4的(a)和(b)所示。圖4(a)為Zemax中的光路圖，從LED射出的±40°以內(nèi)這部分光線，經(jīng)過(guò)柱面鏡折射之后，所有光線的反向延長(zhǎng)線交于虛焦點(diǎn)“F”，經(jīng)過(guò)點(diǎn)“F”和柱面鏡的邊緣所形成的邊緣光線，其與光軸的夾角為±19.6°，經(jīng)過(guò)上表面折射后，形成±30°的出射光線。圖4(b)為用來(lái)計(jì)算外側(cè)全反射輪廓線上各點(diǎn)坐標(biāo)值的數(shù)學(xué)模型。其中q為L(zhǎng)ED出射光線OP與光軸OO¢的夾角；Q(x,y)為外側(cè)全反射輪廓線上一點(diǎn)Q的坐標(biāo)值，其反射線QR與光軸的夾角為d；a為全反射棱鏡入射面的拔摸角，以利于中間柱面鏡模芯的拔出，這里設(shè)置為2°。

(a)

(b)

圖4(a)內(nèi)凹柱面鏡Y方向剖面在Zemax中的光路圖，(b)全反射棱鏡部分Y方向剖面的數(shù)學(xué)建模

　　當(dāng)q角從90°變化到40°時(shí)，反射角d（即反射光線QR和豎直線QT之間的夾角）從0°變化到19.6°。從點(diǎn)Q(x,y)的角度關(guān)系，可以得出以下的式子：

        (1)

        以及：

        (2)

        從公式(1)及(2)，可得出以下的式子：

        (3)

　　其中，b為曲線BD在點(diǎn)Q(x,y)處的切線角，g為切線QZ與豎線QT的夾角，PQ為P點(diǎn)位置的折射光線，q¢為PQ與水平線之間的夾角。曲線BD的導(dǎo)數(shù)和切線角b的正切函數(shù)之間有如下的關(guān)系：

        (4)

　　其中，dy和dx為曲線BD在Y和X方向的微元。

根據(jù)在P點(diǎn)位置的斯涅爾定律[3][4]，有如下關(guān)系：

　　因此：

        (5)

　　當(dāng)q角從90°變化到40°時(shí)，d從0°漸變到19.6°，假設(shè)AB的初始值為1mm，聯(lián)合公式(1)、(3)、(4)、和(5)，Q(x,y)點(diǎn)的坐標(biāo)值可以通過(guò)數(shù)學(xué)模型的積分迭代法依次算出。

圖5：X剖面，上表面配光設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型

　　針對(duì)上表面在X方向上的配光，其數(shù)學(xué)模型如圖5所示。根據(jù)柱面鏡底部AB輪廓線上P點(diǎn)位置的斯涅爾定律，有

        (6)

　　再根據(jù)Q(x,y)點(diǎn)位置的斯涅爾定律，有如下關(guān)系式：

        (7)

　　式中，a為豎直線QV與出射光線QR的夾角，b為法線QN與豎直線QV之間的夾角，q為L(zhǎng)ED的出射角，q¢為P點(diǎn)位置的折射角，n為透鏡材料的折射率。為了配成蝙蝠翼狀的光強(qiáng)的遠(yuǎn)場(chǎng)角度分布，當(dāng)LED的出射角q從0°變化到76°時(shí)，輸出光線滿足以下的關(guān)系：

        ,ifq£60°(8)

        以及

        ,if60

　　再根據(jù)以下曲線CF的微分和切線QS的正切角函數(shù)之間的關(guān)系：

        (10)

　　聯(lián)合公式（6）至（10），上表面的馬鞍形曲線CF的數(shù)值坐標(biāo)可以用積分迭代法一一計(jì)算出來(lái)。