而量子力學(xué)本身也是建立在幾個(gè)非常重要的基石上。其中之一就是哈密頓量的厄米性（也作厄密性）。宏觀尺度上的能量在量子世界中對(duì)應(yīng)的是系統(tǒng)的哈密頓量，而能量守恒定律在量子力學(xué)中的一個(gè)表述就是哈密頓量的厄米性。一個(gè)教科書(shū)中常見(jiàn)的，與厄米性相關(guān)的例子是核外電子的輻射問(wèn)題。如果用經(jīng)典力學(xué)來(lái)描述，電子繞原子核的周期性運(yùn)動(dòng)必然會(huì)帶來(lái)電磁輻射，其結(jié)果就是電子逐漸損失其能量并向原子核靠攏，最后兩者碰撞造成原子不穩(wěn)定。但如果用量子力學(xué)來(lái)描述，系統(tǒng)哈密頓量的厄米性則保證了核外電子分布可以形成穩(wěn)態(tài)，而最內(nèi)層的電子在沒(méi)有外界激發(fā)的情況下只有極小的可能性會(huì)量子隧穿到外界。因此在量子世界上構(gòu)建的宏觀世界也是極為穩(wěn)定的。

 

正是因?yàn)檫@樣一些非?；镜脑颍蠖鄶?shù)的物理工作者對(duì)所謂的非厄米物理都持有懷疑態(tài)度。筆者在國(guó)外某著名高校參加學(xué)術(shù)活動(dòng)的時(shí)候曾和一位較年長(zhǎng)的同行提到非厄米物理，結(jié)果對(duì)方直接說(shuō)道：“It must be a WRONG theory!” 。但是這很明顯是個(gè)誤區(qū)。為什么呢？因?yàn)槲⒂^世界實(shí)在是太復(fù)雜了，就在一個(gè)空的可樂(lè)瓶里就能容納超過(guò)10 23 個(gè)分子。各種理論多多少少都會(huì)用到一些近似，而一大類非厄米理論及系統(tǒng)就是一個(gè)常用近似的結(jié)果。

 

這個(gè)近似就是把整個(gè)物理系統(tǒng)分成兩個(gè)相對(duì)獨(dú)立的部分，而且假定它們之間能量交換的速率是一個(gè)確定的常數(shù)。在光學(xué)甚至電路理論中，我們對(duì)這種處理習(xí)以為常。光學(xué)微腔(Special Issue on Optical Microcavities in Photonics Research )或是振蕩器都有自己的品質(zhì)因數(shù)，其描述的正是它們本身（我們稱之為“系統(tǒng)”）和外界之間能量傳輸?shù)乃俾?。因?yàn)樵诖蠖鄶?shù)情況下外界對(duì)系統(tǒng)的影響都相對(duì)簡(jiǎn)單，所以我們?cè)谶M(jìn)行理論描述的時(shí)候只需要考慮系統(tǒng)本身。這樣的話系統(tǒng)中的能量顯然是不守恒的，因而描述它的理論也必然是非厄米的。從這個(gè)角度來(lái)說(shuō)，人們對(duì)非厄米系統(tǒng)的研究可以溯源到十九世紀(jì)中葉甚至更早。

 

然而今天我們要著重提到的非厄米理論來(lái)源于一個(gè)不同的，甚至可以說(shuō)是瘋狂的假設(shè)。1997年圣路易斯華盛頓大學(xué)物理系的Carl Bender教授提出了一個(gè)以宇稱-時(shí)間對(duì)稱（PT-symmetry）為基礎(chǔ)的非常規(guī)量子理論。其核心假設(shè)是如果我們只要求能量守恒，那么哈密頓量的厄米性并不是唯一的選擇。具體的來(lái)說(shuō)，如果哈密頓量和任意一個(gè)反線性算符對(duì)易，那么系統(tǒng)的能量就可以是守恒的。這里宇稱算符和時(shí)間反演算符共同作用的結(jié)果就就是一個(gè)例子，前提是宇稱-時(shí)間對(duì)稱性沒(méi)有自發(fā)破缺。

 

讀者們對(duì)宇稱可能已有所了解。李政道先生和楊振寧先生正是因?yàn)樘岢隽巳跸嗷プ饔弥械挠罘Q破缺而在1957年獲得了諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。通常我們把鏡面對(duì)稱稱之為宇稱，雖然在粒子物理里我們需要將三個(gè)坐標(biāo)分量同時(shí)反轉(zhuǎn)。而自發(fā)破缺也很好理解，它代表了系統(tǒng)中的穩(wěn)態(tài)波函數(shù)并沒(méi)有哈密頓量本身的對(duì)稱性。舉個(gè)不太恰當(dāng)?shù)睦樱喝绻麅善プ厣鸟R生下了一個(gè)斑馬幼崽，那么色彩均勻分布的這個(gè)對(duì)稱性就自發(fā)破缺了。

 

 

圖1：一些具有宇稱-時(shí)間對(duì)稱性的光子學(xué)系統(tǒng) [詳見(jiàn)L. Feng, R. El-Ganainy, and L. Ge, Nature Photonics, 11,752 (2017) ]。

 

在宇稱-時(shí)間對(duì)稱的量子理論發(fā)布后，物理學(xué)界普遍認(rèn)為其只是一個(gè)有趣的觀點(diǎn)，但它并不能對(duì)傳統(tǒng)量子理論提出挑戰(zhàn)。即便如此，這個(gè)理論中有一個(gè)非常有趣的現(xiàn)象仍然引起了大家的關(guān)注。簡(jiǎn)單的來(lái)講，厄米系統(tǒng)中的簡(jiǎn)并態(tài)只是代表它們能量的簡(jiǎn)并，而非厄米系統(tǒng)中的簡(jiǎn)并態(tài)則還可以同時(shí)擁有相同的波函數(shù)。這樣的簡(jiǎn)并態(tài)發(fā)生的點(diǎn)被稱為異點(diǎn)（exceptional point）。通常一個(gè)異點(diǎn)需要通過(guò)調(diào)節(jié)兩個(gè)或者更多的參數(shù)才能實(shí)現(xiàn)，而在宇稱-時(shí)間對(duì)稱的系統(tǒng)里我們只需要連續(xù)改變一個(gè)參數(shù)就可以達(dá)到這個(gè)目的。更有意思的是，宇稱-時(shí)間對(duì)稱性的自發(fā)破缺正好對(duì)應(yīng)了這個(gè)異點(diǎn) [目前唯一的例外可見(jiàn)筆者發(fā)表的論文[ Phys. Rev. A , 94, 013837 (2016) ]，而且能量在這個(gè)異點(diǎn)之后也變成了成對(duì)出現(xiàn)的復(fù)數(shù)，分別對(duì)應(yīng)了能量增長(zhǎng)和衰減的態(tài)。

 

為了觀察這個(gè)現(xiàn)象，中佛羅里達(dá)大學(xué)大學(xué)的Demetrious Christodoulides教授在2007年提出了用光學(xué)系統(tǒng)來(lái)構(gòu)建一個(gè)宇稱-時(shí)間對(duì)稱的系統(tǒng)。之前提到的很多光學(xué)系統(tǒng)本來(lái)就可以被認(rèn)為是非厄米的，而這個(gè)提議的妙處在于兩點(diǎn)：其一是利用了光學(xué)中的傍軸方程與量子力學(xué)中的薛定諤方程方程同樣的數(shù)學(xué)形式；其二是用配對(duì)的光學(xué)增益和損耗器件來(lái)滿足宇稱-時(shí)間對(duì)稱的要求。在這個(gè)提議的基礎(chǔ)上，很多光子學(xué)實(shí)驗(yàn)（見(jiàn)圖1）都成功驗(yàn)證了Bender教授最初的預(yù)測(cè)，而B(niǎo)ender教授本人也和實(shí)驗(yàn)的合作者一道利用兩個(gè)耦合的協(xié)振子在經(jīng)典力學(xué)中實(shí)現(xiàn)了一個(gè)宇稱-時(shí)間對(duì)稱的系統(tǒng)。

 

圖2：具有宇稱-時(shí)間對(duì)稱性的光纖環(huán)形激光和扇形激光 （圖片來(lái)源：Photonics Research Non-Hermitian Photonics in Complex Media: PT-symmetry and beyond 專題 ）

 

鑒于各國(guó)都加大了對(duì)宇稱-時(shí)間對(duì)稱系統(tǒng)研究的力度，光子學(xué)領(lǐng)域重要期刊Photonics Research適時(shí)推出了Non-Hermitian Photonics in Complex Media: PT-symmetry and beyond 專題 ，由美國(guó)北卡羅萊納大學(xué)的Greg Gbur教授和希臘克里特大學(xué)的Konstantinos Makris教授負(fù)責(zé)組稿。其中收錄的文章包括了許多新的研究方向，例如克里特大學(xué)和中佛羅里達(dá)大學(xué)主持的課題討論了光學(xué)物質(zhì)的色散對(duì)宇稱-時(shí)間對(duì)稱性破缺的影響；澳大利亞國(guó)立大學(xué)和悉尼大學(xué)發(fā)表的文章研究了非線性波導(dǎo)中的宇稱-時(shí)間對(duì)稱性對(duì)成對(duì)產(chǎn)生的量子糾纏態(tài)的影響；香港科技大學(xué)孫賢開(kāi)教授的團(tuán)隊(duì)設(shè)計(jì)了具有徑向宇稱-時(shí)間對(duì)稱性的光學(xué)微腔激光器。筆者也應(yīng)邀發(fā)表了一篇關(guān)于非厄米扁平能帶（flatband）的文章，其中用到了一種新的非厄米對(duì)稱性，即電子-空穴（particle-hole）對(duì)稱性。有意思的是由于非厄米性，一個(gè)玻色子（光子）系統(tǒng)居然實(shí)現(xiàn)了一個(gè)費(fèi)米子（電子及空穴）系統(tǒng)的對(duì)稱性。同時(shí)電子-空穴對(duì)稱性也保證了和馬約拉納零能模（Mojarana zero mode）類似的非厄米零能模的存在，為在非厄米系統(tǒng)中研究拓?fù)溥吔鐟B(tài)提供了保障。

 

國(guó)內(nèi)的不少科研機(jī)構(gòu)也在非厄米系統(tǒng)框架下做出了很多杰出的成績(jī)，其中包括筆者比較熟悉的南京大學(xué)的肖敏教授、姜校順教授和劉明輝教授，北京大學(xué)的肖云峰教授和馬仁敏教授，上海交通大學(xué)的萬(wàn)文杰教授，以及哈爾濱工業(yè)大學(xué)（深圳）的宋清海教授和肖淑敏教授。我們希望有更多科技工作者加入到對(duì)非厄米系統(tǒng)的研究中來(lái)，把一個(gè)天方夜譚般的領(lǐng)域發(fā)展成一個(gè)優(yōu)勢(shì)學(xué)科。